直线与圆相切公式是什么(直线与圆的关系)

100次浏览     发布时间:2024-09-02 10:07:25    

由直线与圆的公共点的个数,得出直线和圆的三种位置关系:

(1)相交:直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线,公共点叫做交点AB与⊙O相交,d<r;

直线与圆相交

(2)相切:直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,这个唯一的公共点叫做切点。AB与⊙O相切,d=r。

证明方法:(3种)

第一种

在直角坐标系中直线和圆交点的坐标应满足直线方程和圆的方程,它应该是直线 Ax+By+C=0 和圆 x²+y²+Dx+Ey+F=0(D²+E²-4F=0)的公共解,因此圆和直线的关系,可由方程组

Ax+By+C=0

x²+y²+Dx+Ey+F=0

的解的情况来判别

如果方程组有两组相等的实数解,那么直线与圆相切与一点,即直线是圆的切线。

第二种

直线与圆的位置关系还可以通过比较圆心到直线的距离d与圆半径r的大小来判别,其中,当 d=r 时,直线与圆相切。

第三种

利用切线的定义 [1] ——在已知条件中有“半径与一条直线交于半径的外端”,于是只需直接证明这条直线垂直于半径的外端.

例: 已知:△ABC内接于⊙O,⊙O的直径AE交BC于F点,点P在BC的延长线上,且∠CAP=∠ABC.求证:PA是⊙O的切线.

直线与圆相切

证明:连接EC.

∵AE是⊙O的直径,

∴∠ACE=90°,

∴∠E+∠EAC=90°.

∵∠E=∠B,又∠B=∠CAP,

∴∠E=∠CAP,

∴∠EAC+∠CAP=∠EAC+∠E=90°,

∴∠EAP=90°,

∴PA⊥OA,且过A点,

则PA是⊙O的切线.

(3)相离:直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离,AB与圆O相离,d>r。(d为圆心到直线的距离)

直线与圆相离

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